主要题型

• 判断给定容量下的最大价值

• 能不能完全装满背包

• 完全装满背包的方案数

例1：实现01背包

题目描述

给定 $N$ 件物品和一个容积为 $V$ 的背包。已知第 $i$ 件物品的体积是 $c_i$ ，价值是 $w_i$ 。一个物品要么装要么不装，问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值为最大。

输入格式

输入的第一行，两个整数 $N$ 、$V$，表示有 $N$ 件物品 $(1\le N\le 100,1\le V\le 10000)$ 。接下来 $N$ 行，每行两个整数 $w_i、c_i$，表示第 $i$ 件物品的价值是 $w_i$，体积是 $c_i$。

输出格式

输出包括一行，仅一个整数， 为背包中最多可以放入的物品总价值。

样例 #1

样例输入 #1

5 10
2 1
3 5
2 5
3 4
4 3

样例输出 #1

9

代码

方法一：二维数组

$dp[i][j]$ 表示在物品 $0-i$ 之间选择,背包体积为 $j$ 的最大价值为 $dp[i][j]$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,c,v[105],value[105],dp[105][105];
int main(void){
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>value[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){//遍历物品 
		for(int j=1;j<=c;j++){//遍历背包容量 
			if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-v[i]]+value[i],dp[i-1][j]);//放得下物品 i 的情况 
			else dp[i][j]=dp[i-1][j];//放不下物品 i 的情况 
		}
	}
	cout<<dp[n][c]<<endl;
	return 0;
}

方法二：一维数组（滚动数组）

$dp[j]$ 表示背包容量为 $j$ 的情况下能存放的最大价值，可以从方法一中推出来的表格看出来。也就是说，只用看表格最后一行就行 $dp[n][j]$。其中 $n$ 表示物品总数，$j$ 表示遍历背包的容量。

假设现在的背包的容量是 $C=10$ ；

物品编号	物品重量	物品价值
$1$	$2$	$3$
$5$	$6$	$4$
$20$	$10$	$12$

重点就是，一维内层循环要倒着来！不然会重复，保证每一个物品只会被取到一次。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,c,v[105],value[105],dp[105];
int main(void){
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>value[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) //遍历物品 
		for(int j=c;j>=v[i];j--) //遍历背包的体积 保证每一个物品只会被取到一次 
			dp[j]=max(dp[j-v[i]]+value[i],dp[j]); 
	cout<<dp[c]<<endl;
	return 0;
}

例题2：[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1 \le T \le 1000$）和 $M$（$1 \le M \le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30\%$ 的数据，$M \le 10$；
• 对于全部的数据，$M \le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t[105],m[105],dp[105][105];
int main(void){
	int T,M;
	cin>>T>>M;
	for(int i=1;i<=M;i++) cin>>t[i]>>m[i];
	for(int i=1;i<=M;i++){
		for(int j=T;j>=0;j--){
			if(j>=t[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-t[i]]+m[i],dp[i-1][j]);
			else dp[i][j]=dp[i-1][j];
		}
	}
	cout<<dp[M][T]<<endl;
	return 0;
}