全国高中数学联赛考试大纲

一、一试

• 考试范围： 完全依据全日制中学《数学教学大纲》规定的教学要求和内容，与高考知识范围一致，方法要求略有提高。
• 不考内容： 概率、微积分初步。

二、二试

1. 平面几何

• 基本要求： 掌握初中数学竞赛大纲全部内容。
• 补充要求：
  • 面积与面积方法
  • 重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理
  • 极值问题：
    • 费马点（到三角形三顶点距离之和最小）
    • 重心（到三顶点距离平方和最小；内点到三边距离之积最大）
  • 几何不等式
  • 简单等周问题：
    • 周长固定时，正n边形面积最大；圆面积最大
    • 面积固定时，正n边形周长最小；圆周长最小
  • 几何变换：反射、平移、旋转
  • 工具方法：复数法、向量法
  • 凸集与凸包应用

2. 代数

• 新增内容（在一试基础上）：
  • 函数：周期函数、含绝对值函数图像
  • 三角：三倍角公式、三角形恒等式、三角不等式
  • 数学归纳法：第二数学归纳法
  • 递推关系：一阶/二阶递归、特征方程法
  • 函数迭代与简单函数方程
  • 不等式：n元平均不等式、柯西不等式、排序不等式及应用
  • 复数：指数形式、欧拉公式、棣莫弗定理、单位根及应用
  • 组合数学：圆排列、重复排列组合、简单组合恒等式
  • 多项式理论：根与系数关系、实系数方程虚根成对定理
  • 初等数论：
    • 包含内容：无穷递降法、同余、欧几里得除法、高斯函数、费马小定理、欧拉函数、孙子定理、格点性质

3. 立体几何

• 多面角性质（含三面角、直三面角）
• 正多面体与欧拉定理
• 体积证明方法
• 截面作图与表面展开图

4. 平面解析几何

• 直线表示：法线式、极坐标方程、直线束应用
• 二元一次不等式表示区域
• 三角形面积公式
• 圆锥曲线的切线及法线
• 圆的幂与根轴

5. 其他

• 组合原理：抽屉原理、容斥原理
• 方法论：极端原理
• 集合论：集合划分、覆盖问题